La gamme de Pythagore

 

Qu'est-ce-qu'est la gamme de Pythagore ?

 

La musique est considérée comme un art ancestral dont l’origine est difficile à situer dans le temps, même approximativement. Ainsi, l'homme a longtemps utilisé une gamme "naturelle" de notes de façon empirique pour chanter ou jouer d’un instrument.

Ce sont les travaux de certaines figures historiques comme Pythagore ou Zarlino qui ont véritablement « révolutionné » l’écriture et la connaissance de la musique. 

 

La grande découverte de Pythagore a été de fonder les bases de la théorie musicale, avec toutes ses propriétés physiques et mathématiques. Ainsi, c'est lui qui a montré que les intervalles fondamentaux naturels dans une gamme, à savoir l'octave, la quinte et la quarte correspondent en fait à des rapports numériques simples. 

A la base du système se trouve une légende, la fameuse légende de Pythagore dans la forge. 

Plusieurs traités antiques et médiévaux rapportent qu’un jour Pythagore, se promenant près d’une forge fut surpris par les différentes sonorités de marteaux frappant sur une enclume. Il comprit rapidement que plus le marteau était léger, plus le son produit était aigu. Il décida donc de comparer la masse des marteaux correspondant aux sons les plus consonnants, et découvrit qu’ils pesaient 6, 8, 9 et 12 (unités de poids). 

 

En rapportant ces chiffres à 6, il obtint les fractions suivantes (réduction en facteurs premiers) :

1 4/3 3/2 2,  qui sont respectivement ce que l’on nomme aujourd'hui l’unisson, la quarte, la quinte et l’octave.

 

 

 

Comment la gamme de Pythagore est-elle construite ?

 

La gamme de Pythagore utilise le cycle des quintes, l’intervalle le plus consonnant, pour définir les fréquences des notes. Par exemple, si l’on part d’un DO, le cycle se constitue des notes: DO-SOL-RE-LA-MI-SI-FA-DO

A partir de là, nous pouvons établir la suite géométrique suivante :...

On part d’une note fondamentale, le Do qui a une fréquence 1. 

 

U₀ =1, qui correspond à Do.

 

U₁ =1 x (3/2)=3/2, correspondant au Sol (quinte).

 

U₂ =(3/2) x (3/2)=9/4, normalisé : (9/4)/2=9/8, qui correspond à Ré.

 

On veut rester dans l’intervalle [1;2] correspondant à l’octave : pour cela, on dit qu’on normalise la fréquence de la note en la divisant par 2.

 

On continue ainsi :

 

U₃ =(9/8) x (3/2)=27/16, pour le La

 

U₄ =(27/16) x (3/2)=81/32, normalisé : (81/32)/2=81/64 pour le Mi.

 

U₅ =(81/64) x (3/2)=243/128, correspondant à Si.

 

Si l’on continue cette suite comme nous l’avons définie, on aurait :

 

U₆ =(243/128) x (3/2)=729/256, normalisé : (729/256)/2=729/512 qui devrait correspondre à Fa. 

 

Et, U₇ =729/512 x 3/2=2187/1024, normalisé : 2187/2048, ce qui devrait correspondre à un Do de fréquence 2. Mais le résultat obtenu n’est pas celui attendu. Pythagore procéda alors de cette façon :

 

D’après la théorie des intervalles, si l’on part de Do, la quatrième note Fa correspond à la quarte de rapport 4/3 :

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

En effet, si l’on prend le schéma ci-dessus, nous remarquons que le DO supérieur a pour valeur (fréquence) 2. Reportons un intervalle de quinte (3/2) en descendant. Nous arrivons à la note FA dont la hauteur par rapport au DO inférieur est: 2/ (3/2)=4/3

On a donc :

 

U₆ =4/3, qui correspond au Fa.

 

Finalement, U₇ =4/3 x 3/2=2, on arrive bien au Do (octave).